Points clés à retenir: les problèmes dimensionnels identifiés dès les premières phases de conception sont généralement moins coûteux à corriger que ceux découverts après le lancement de l’outillage ou de la production. Recourez à l’analyse des tolérances dans le pire des cas lorsque l’ajustement et le fonctionnement doivent être vérifiés sur l’ensemble de la plage de tolérance spécifiée ; utilisez une méthode statistique telle que la RSS lorsque les variations contributives peuvent être modélisées statistiquement et que ses hypothèses sont adaptées au processus de fabrication.
Les analyses en 1D sont efficaces pour les chaînes de tolérances linéaires, tandis que les analyses en 2D ou 3D sont mieux adaptées aux assemblages présentant des variations angulaires, géométriques ou multidirectionnelles. L’application des meilleures pratiques en matière d’analyse de cumul des tolérances dès les premières étapes de la conception d’un produit améliore directement la fabricabilité et réduit les coûts en aval.
Comment fonctionne l’analyse des tolérances ?
Le GD&T (Geometric Dimensioning and Tolerancing, ou cotation et tolérances géométriques) est l’une des principales méthodes utilisées pour annoter et indiquer les tolérances sur les pièces ; il fournit un langage normalisé permettant de communiquer les variations admissibles dans un dessin technique. L’application correcte des tolérances géométriques sur chaque dessin technique constitue une étape fondamentale de toute analyse de cumul des tolérances.
Les tolérances sont spécifiées sur les plans techniques selon les règles de tolérancement dimensionnel et géométrique définies par des normes telles que la norme ASME Y14.5 et le système GPS de l’ISO.
Méthodes d’analyse des tolérances
L’analyse de tolérance traditionnelle couvre quatre formats d’empilement : les empilements 1D calculent la variation dans une seule direction linéaire, tandis que les empilements 2D et 3D prennent en compte plusieurs directions ainsi que des facteurs d’influence supplémentaires, tels que les relations angulaires et les contraintes géométriques. La simulation de Monte Carlo offre une approche statistique pour analyser la variation d’assemblage, en particulier lorsque les relations non linéaires rendent les méthodes analytiques moins pratiques.
Comme nous l’avons expliqué dans notre article intitulé « Qu’est-ce que l’analyse des tolérances ? », il existe quatre méthodes pour réaliser une analyse des tolérances cumulées :
- Piles de serviettes: des calculs sur papier
- Analyse d’empilement 1D: feuille de calcul Excel
- Analyse de piles en 2D: feuille de calcul Excel ou logiciel spécialisé
- Analyse d’empilement 3D: outil de CAO (3DCS fait partie de cette catégorie)
Pour mieux comprendre dans quels cas l’analyse des cumuls à l’aide d’un tableur atteint ses limites, consultez la section « Limites d’Excel en matière de cumuls de tolérances ».
Qu’est-ce que le cumul des tolérances ?
Le cumul des tolérances désigne l’effet cumulatif de plusieurs tolérances individuelles des pièces au sein d’un ensemble. Une analyse du cumul des tolérances évalue la manière dont ces variations se combinent et détermine si l’ensemble ainsi obtenu répondra aux exigences dimensionnelles, d’ajustement et fonctionnelles.
Pourquoi les tolérances sont-elles importantes ?
Les pièces parfaites n’existent pas: les procédés de fabrication, tels que l’emboutissage et l’usinage, entraînent des variations des dimensions des pièces par rapport à leur valeur nominale, et les tolérances définissent la plage acceptable de ces variations afin de garantir que les pièces restent fonctionnelles une fois assemblées.
Les tolérances ont une incidence directe sur les coûts de production: des tolérances plus strictes nécessitent des procédés plus précis et plus coûteux ; à l’inverse, des tolérances trop larges entraînent des variations au niveau de l’assemblage, ce qui se traduit par du bruit, des retouches ou l’ajout de matériaux supplémentaires, tels que des cales. La définition des tolérances et leur analyse font donc partie intégrante du processus d’ingénierie et de la gestion du cycle de vie des produits.
Comment calcule-t-on le cumul des tolérances ?
Pour calculer la variation totale résultant du cumul des tolérances, il faut choisir entre l’analyse du cas le plus défavorable, qui additionne les limites absolues de chaque tolérance, et l’analyse statistique, qui modélise chaque tolérance sous forme de distribution et utilise des méthodes telles que la somme des carrés des écarts pour prédire la dispersion probable de la mesure de l’ensemble.
La principale question qui se pose dans le cadre de l’analyse des tolérances est de savoir comment calculer la variation totale résultant de l’accumulation des tolérances. On distingue deux grandes catégories dans ce domaine :
(a) Analyse du scénario le plus défavorable ; et
(b) Analyse statistique.
SoitMs une production,Ms0 la valeur nominale,λsi (i = 1, 2, …Nt) le paramètre constant,Ti la tolérance etNt le nombre total de tolérances.
Soit T = [T₁,T₂, …,TN_t]^t.
Un modèle linéaire peut s’écrire sous la forme suivante :Ms =Ms0 + ∑(λsiTi) (équation 1)
Un modèle non linéaire peut s’écrire sous la forme suivante :Ms = f(T) (équation 2), où f() est une fonction non linéaire.
Analyse des tolérances dans le pire des cas
L’analyse des tolérances dans le pire des cas évalue un ensemble en se basant sur les limites extrêmes admissibles de chaque tolérance qui y contribue. Cette approche est indiquée lorsque l’ajustement et le fonctionnement doivent être vérifiés sur toute la plage de tolérance spécifiée, mais elle peut entraîner des tolérances de composants plus strictes et des coûts de fabrication ou d’inspection plus élevés que les approches statistiques.
(a) Analyse du scénario le plus défavorable : l’objectif est de déterminer l’amplitude de variation la plus élevée.
Dans le cas linéaire, l’amplitude de variation dans le pire des cas correspond à la somme des valeurs absolues de chaque coefficient de sensibilité multipliée par sa plage de tolérance ; dans le cas non linéaire, elle correspond à la différence entre les valeurs de sortie maximale et minimale pour toutes les combinaisons de tolérance.
(a1) Cas linéaire :ΔMs = ∑(|λsi|ΔTi) (équation 3)
OùΔMs correspond à l’amplitude de variation de la sortie, etΔTi à l’amplitude de variation de la toléranceTi.
(a2) Cas non linéaire :ΔMs = Max{f(T)} − Min{f(T)} (équation 4)
Découvrez comment 3DCS aborde l’analyse des scénarios les plus défavorables
Analyse de la variation statistique
L’analyse statistique des tolérances modélise chaque tolérance contributive sous la forme d’une distribution statistique et combine leurs effets à l’aide de méthodes telles que la somme des carrés (RSS) afin d’estimer la variation d’assemblage. Par rapport à l’analyse du cas le plus défavorable, cette approche peut fournir une prévision plus représentative des résultats de production lorsque ses hypothèses statistiques sont appropriées.
La méthode RSS est particulièrement adaptée lorsque les variations qui la composent sont indépendantes, raisonnablement centrées et étayées par des hypothèses appropriées concernant leurs distributions statistiques et leurs processus de fabrication.
Les cumuls de tolérances sont utiles aux ingénieurs car :
- les aider à étudier les relations dimensionnelles au sein d’un assemblage.
- offrant ainsi aux concepteurs un moyen de calculer les tolérances des pièces.
- aider les ingénieurs à comparer les propositions de conception.
- aider les concepteurs à réaliser des plans complets.
(b) Analyse statistique : L’objectif est de déterminer l’écart-type σ.
Les calculs d’écart-type peuvent être utilisés aussi bien pour les distributions de tolérance normales que pour les distributions non normales correctement modélisées, tandis que la simulation de Monte Carlo permet d’évaluer les cas non linéaires en générant des échantillons et en analysant les mesures d’assemblage qui en résultent.
(b1) Cas linéaire avec toutes les tolérances suivant une distribution normale :σs² =∑iλsi²σti² (équation 5)
Oùσs est l’écart-type de la production, etσti l’écart-type de la toléranceTi.
(b2) Cas linéaire avec tolérances non normales :σs2 =∑iλsi2sti2 (équation 6)
Oùsti est l’écart-type ajusté en fonction de la distribution attribuée àTi. Par exemple, pour une toléranceTi suivant une distribution uniforme, on asti² =ΔTi² / 12.
Dans l’équation eq6, le calcul est effectué à partir d’une approximation normale pour un cas symétrique non normal. Il suppose l’absence de décalage de la moyenne. Une méthode de simulation peut également être utilisée, comme indiqué dans le cas suivant.
(b3) Cas non linéaire : on utilise une simulation de Monte Carlo pour calculer l’accumulation comme suit :
Pour un nombre totalNs d’échantillons, la variance non biaisée de la sortieMs peut être estimée comme suit :
σs2 = 1/(Ns − 1)∑j=1Ns (msj −m̄s)²
où,
m̄s =1/Ns∑j=1Nsmsj
σs = √[1/(Ns − 1)∑j=1Ns (msj −m̄s)²]
Les deux tableaux suivants résument les avantages et les inconvénients.
Modèles linéaires et non linéaires
| Linéaire | Non linéaire |
|---|---|
| L1. Cas concrets très peu nombreux | N1. La plupart des modèles 3D sont de ce type |
| L2. Rapide et simple à calculer | N2. On utilise la simulation de Monte-Carlo |
| L3. Une fonction d’attribution ou d’optimisation des tolérances basée sur des équations est disponible | N3. La méthode DOE peut être utilisée pour déterminer les tolérances |
Scénario le plus défavorable vs analyse statistique
| Analyse du scénario le plus défavorable | Analyse statistique |
|---|---|
| W1. Garantit le bon fonctionnement de tous les ensembles | S1. La qualité peut être conçue, c’est-à-dire 3 sigma, 6 sigma |
| W2. Part du principe que 100 % des composants sont contrôlés | S2. Limites de tolérance plus larges |
| W3. Coûts de fabrication élevés | S3. Réduction des coûts de fabrication |
Découvrez l’analyse du cumul des tolérances en pratique
Vous souhaitez découvrir comment fonctionne l’analyse du cumul des tolérances dans la pratique ? Regardez la vidéo ci-dessous pour avoir un aperçu visuel des concepts et des méthodes abordés dans cet article.
Problèmes liés aux cumuls de tolérances
Des coefficients de sécurité sont intégrés aux calculs de cumul des tolérances afin de tenir compte des conditions réelles qui vont au-delà de la simple variation dimensionnelle, notamment les effets thermiques, l’usure mécanique, la déformation après assemblage et le risque que des pièces situées à la limite des spécifications passent l’inspection tout en nuisant aux performances de l’ensemble.
Un coefficient de sécurité est souvent intégré dans les conceptions en raison des préoccupations liées à :
- Température et pression de fonctionnement des pièces ou de l’ensemble. (Analyse par éléments finis)
- Usure.
- Déformation des composants après assemblage.
- La possibilité ou la probabilité que les pièces ne respectent pas tout à fait les spécifications (tout en ayant été acceptées lors du contrôle).
- La sensibilité ou l’importance de la pile (que se passe-t-il si les conditions de conception ne sont pas respectées) ?
Comment linéariser des modèles de variation dimensionnelle non linéaires ?
Lorsque les tolérances sont faibles par rapport aux dimensions globales, un modèle de variation dimensionnelle non linéaire peut être approximé de manière linéaire. Cela simplifie les calculs et permet de réaliser une analyse de sensibilité afin d’identifier les tolérances qui contribuent le plus à la variation de l’assemblage. La maîtrise des méthodes de linéarisation de l’accumulation des tolérances constitue une méthode d’analyse essentielle pour les ingénieurs travaillant sur des assemblages complexes à partir de composants fabriqués à la machine.
Voici une brève description de trois méthodes de linéarisation permettant de calculer le coefficientλsi dans l’équation :
Ms =Ms0 + ∑(λsiTi)
(1) Méthode HLM
Cette méthode part du principe qu’un résultat est la somme des contributions individuelles.
λsi =HLMIndexsi(Ti) =RangeMsi(Ti) /ΔTi
OùRangeMsi(Ti) est la valeur contributive de la toléranceTi, etΔTi est l’intervalle de variation de la toléranceTi.
(2) Développement de Taylor
λsi =GeoFactorsi(Ti) =RangeMsi(Ti) /ΔgT, oùΔgTcorrespond à la plage de tolérance de GeoFactor.
(3) Méthode DOE : planification d’expériences
λsi =Coefsi(Ti) =RangeMsi(Ti) /ΔdTi, oùΔdTi correspond à la plage de tolérance du DOE.
Le coefficientλsi dans un modèle linéarisé permet également d’établir la relation de sensibilité entre une toléranceTi et une mesureMs.
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FAQ : Qu’est-ce que le cumul des tolérances dans les cumuls de tolérances ?
Les questions suivantes abordent les points de confusion les plus courants concernant le cumul des tolérances, depuis les définitions de base jusqu’au choix de la méthode et des outils.
Qu’est-ce que le cumul des tolérances et à quoi sert le calcul du cumul des tolérances ?
Le cumul des tolérances désigne l’effet cumulé de plusieurs tolérances individuelles des pièces sur la mesure finale de l’ensemble. Le cumul des tolérances permet de calculer comment ces variations individuelles se combinent, soit en additionnant leurs limites les plus défavorables, soit en modélisant leurs distributions statistiques, afin de prédire si l’ensemble répondra aux exigences d’ajustement et de fonctionnement. Le résultat indique aux ingénieurs si leurs tolérances actuelles sont compatibles avec l’intention de conception avant même que les pièces ne soient fabriquées.
Dans quels cas faut-il recourir à l’analyse de tolérance du pire scénario plutôt qu’à une méthode statistique telle que le RSS ?
L’analyse des tolérances dans le pire des cas est indiquée lorsque la conception doit satisfaire aux exigences d’assemblage sur toute la plage spécifiée des tolérances contributives, même si la combinaison extrême de ces tolérances ne se produit que très rarement en production. Les méthodes statistiques telles que la somme des carrés des racines (RSS) sont appropriées lorsque les variations contributives peuvent être modélisées statistiquement et que les hypothèses sous-jacentes à la méthode sont cohérentes avec le processus de fabrication. Il arrive que des clients exigent expressément une analyse du pire cas pour les interfaces critiques, même si cela se traduit généralement par des tolérances plus strictes et des coûts de production plus élevés.
Quelle est la différence entre les ensembles de tolérances 1D, 2D et 3D pour un assemblage ?
Une analyse de cumul des tolérances en 1D calcule la variation cumulée dans une seule direction linéaire ; il s’agit de la forme la plus simple d’analyse de cumul, souvent réalisée à l’aide d’un tableur. Une analyse de tolérance en 2D étend le calcul pour inclure les variations dans une deuxième direction et peut prendre en compte certaines relations géométriques entre les pièces. Une analyse de tolérance en 3D utilise un outil de CAO pour modéliser simultanément les variations dans les trois dimensions, en tenant compte des relations angulaires, des contraintes géométriques et de toute la complexité des interactions entre les pièces au sein d’un assemblage. Les assemblages comportant des effets angulaires, géométriques ou multidirectionnels plus importants, les méthodes 1D ou 2D peuvent ne plus permettre de saisir l’ensemble des variations pertinentes, ce qui rend l’analyse de tolérance 3D plus appropriée.
En savoir plus sur l’analyse de l’empilement des tolérances en 3D.
Quel est le lien entre la simulation de Monte-Carlo et l’analyse de cumul des tolérances pour les modèles non linéaires ?
La simulation de Monte-Carlo est une méthode statistique largement utilisée pour l’analyse du cumul des tolérances lorsque la relation entre les tolérances des pièces et la mesure de l’ensemble est non linéaire. Elle consiste à générer un grand nombre d’échantillons aléatoires pour chaque tolérance en fonction de sa distribution statistique, à évaluer le résultat de l’assemblage pour chaque échantillon, puis à calculer l’écart-type de la distribution obtenue. Cette approche permet de contourner les limites des approximations linéaires et fournit une prévision réaliste de la variation de l’assemblage pour les géométries complexes.